Examens d'économétrie 2
Enoncé
Considérons le modèle de régression linéaire suivant Y = Xβ + ε ou ε>iid (0,σ²I) et E(x) = 0
1. Donner sans la démonstration l'expression de (βˆ) estimateur par MCO du modèle.
2. Quelle est l'expression de la variance de (βˆ) ? Démontrez
3. Considérons le cas εi→iid(0,σ²I) avec σ²i≠σ²j pour i ≠ j. Comment dénomme-t-on cette situation ? Dans ce contexte, les coefficients issus d'une régression par MCO sont-ils valables ? Expliquez sans démonter
4. Donnez l'expression de la variance de (βˆ)
5. Il existe un test statistique permettent de savoir si l'on est dans la situation 3. Quel est-il ? Détaillez la mise en ouvre de ce test.
Une étude sur le niveau d'annexite (Y) de 22 cadres d'entreprises en fonction de (XI) pression artérielle systolique. (X2) test évaluant les capacités managériales et (X3) niveau de satisfaction du poste occupé.
1. Calculer la somme des cadres carrés due à la régression pour l'ensemble des 3 variables explicatives ?
2. Quelle proportion de la niveau de la variation dans le niveau d'anxiété est expliquée par les 3 variables explicatives ?
3. Peut-on conclure que dans l'ensemble les 3 variables explicatives ont un effet significatif sur le niveau d'anxiété ? Utiliser un seuil de signification α=5%. Préciser les hypothèses que l'on veut tester.
4. Si on ne tient compte que de la variable explicative XI, quel serait alors le tableau d'analyse de la variance correspondant ? SCreg = 981.326
5. Tester les hypothèses suivantes au seuil α=5% en utilisant un rapport F approprie :
a) H0 : β1 = 0 dans le modèle Y = β0 + β1X1 + ε
b) H0 : β2 = 0 dans le modèle Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ε
c) H0 : β3 = 0 dans le modèle Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3X3 + ε
6. Quelle est la valeur R² associé à l'estimation de chaque mode spécifié en 5 ?
7. Lequel des 3 modèles semble le mieux approprié pour expliquer les fluctuation du niveau d'anxiété d'entreprise ?
F(3,18)=3.16 ; F(1,18)=4.41 ; F(1,19)=4.38 ; F(1,20)=4.35
Corrigé
1. βˆ=(x'x)-1 X'Y
2. Ωˆβˆ = σˆ²ε(x'x)-1
Démonstration :
= E((βˆ- β)(βˆ- β)')
= E((β+ (x'x)-1- β)(β'+ (x'x)-1 x'ε - β)')
= E((x'x)-1x'ε)(((x'x)-1x'ε)')
= E((x'x)-1x'εε'x(x'x)-1)
= (x'x)-1x'x E(εε')(x'x)-1
= In σεˆ² (x'x)-1
= σεˆ² (x'x)-1
3. Dans le cas ou εi→iid(0,σ²I) avec σ²i≠σ²j pour i ≠ j on portant de l'hétéroscédasticité car l'hypothèse H5 n'est plus vérifiée. dans ce cas les coefficients de la MCO ne sont pas valable. On doit déterminer un nouvel estimateur β par la MCG (nombre carre généralises) avec : βˆ = ((x'Ωε-1x)-1(xΩε-1y)
4. la variance de βˆcas de MCG :
= (x'Ωε-1x)-1
5. Oui on portant de test Whit.
Le test Whit est un test qui permet de savoir si la variance des erreurs d'un modèle de régression est constant. σ² = constante. L'hypothèse d'homoscédasticité et l'hypothèse alternative.
H0 : y2 = β0 + β1X1t + β2X2t + εt v(εt) = σε²
H1 : y2 = β0 + β1X1t + β2X2t + εt v(εt) = σε² = n1 + n2x1 + n3x2 + n4x²1t + n5x²2t +n6x1tx2t + wt.
n1......n6 sont des coefficients et Wt est un bruit blanc.
on estime le modèle par la MCO pour l'utilisation du test Fisher W=(ScR1 -ScR2)/(ScR2) * (n-K)/(K-1)
ScR1 : est la somme des carrés des résidu que l'on obtient σε² en régressant sur la constante
ScR2 : est celle que l'on obtient avec l'équation dans l'équation alternatif. σε² = n1 + n2x1t + n3x2t + n4x²1t + n5x²2t +n6x1tx2t + wt. Si la statistique (W) White est supérieur a celle dans la table de Fisher pour un certain niveau de risque (5%) alors on rejette H0 d'homoscédasticité.
1. La somme des carrés due a la régression pour les trois variables explicative.
ScReg = 981,326 + 190,232 + 129,431 = 1300,989
2. La proposition de la variation dans le niveau d'anxiété par les trois variables. le coefficient de détermination R² :
R² = ScReg/SCtotal = 1300,989/1743,281 = 0,7462. Donc la variation est de 74,62%
3. Pour savoir les trois variables explicatives ont un effet significative on utilisant le test de significativité Global (Fisher°
H0 : β1 = β2 = β3 = 0
H1 : du moins β1≠ 0
F = (R²/k)/((1-R²)/(n-K-1)) = (0,7462/3)/((1-0,7462)/(22-3-1)) = 17,6406617
F*(3,18) > F(3,18) Donc le modèle est significative (rejette de H0)
4. Tableau de l'analyse de la variance (ANOVA)
5. Test des hypothèses pour le rapport F au seuil de 0.05
a. H0 : β1 = 0
H1 : β1 ≠ 0
F = CMex/CMres = 981,326/38,09725 = 25,7581 et au seuil de 0,05 F(1. 20) = 4,35
F*(1.20) > F(1.20) Donc globalement significative , rejette de H0
b. β2=0 , y= β0 + β1X1t + β2X2t + εt
on a : SCreg = 190,232 Donc SCres = SCt - ( SCreg1 +SCreg2) = 1743,281 - (981,326 + 190,232) = 571,723
H0 : β2 = 0
H1 : β2 ≠ 0
F = (190,232/1)/(571,723/(22-2-1)) = 6,332 , au seuil de 0,05 F(1.19) = 4,38
Fc > Ftab alors globalement significative.
c. = 0 alors yt = β0 + β1X1t + β2X2t + β3X3t + εt
on a SCreg = 129,431
Donc SCres = SCt - (SCreg1 + SCreg2 + SC reg3)
= 1743,281 - (981,326 + 190,232 + 129,431)
= 442,292
H0 : β3 = 0
H1 : β3 ≠ 0
F = (129,431/1/)(442.292/(22-3-1)) = 5,267 et au seuil de 0,05 F(1.18) = 4,41
Fc > Ftab alors le modèle est globalement significative
6.
- Pour yt = β0 + β1X1t + εt on a R² = 981,326/1743,281 = 0,56
- Pour yt = β0 + β1X1t + β2X2t + εt on a R² = (981,326 + 190,232)/1743,286 = 0,67
- Pour yt = β0 + β1X1t + β2X2t + βXtεt on a R² = (981,326 + 190,232 + 129,431)/1743,286 = 0,74
7. Le modèle le mieux approprié pour expliquer les fluctuations du niveau d'anxiété est le troisième modèle yt = β0 + β1X1t + β2X2t + β3X3t + εt car son coefficient de détermination égale 0,74
Examen semestre 6 économie
1. Examens de théories économiques contemporaines
2. Examens de croissance et emploi
3. Examens d'informatique appliqué
support d'économétrie S6
- Cours d'économétrie 2
- Résumé d'économétrie 2
- Exercices d'économétrie 2
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