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Examens de recherche opérationnelle (RO) S5 avec corrigé  - option économie

9rytna vous proposez un exemple d'examen de recherche opérationnelle (Ro° S5 option économie avec corrigé, l'examen il traiter des cas et des problèmes de recherche opérationnelle (RO), vous allez trouver ci-dessous l'examen avec une corrigé bien détaillé.

Examens de recherche opérationnelle (RO) S5

Examen(Enoncé) :

Questions de cours :

1) Répondre par vrai ou faux aux questions suivantes : Soit A ∈ Mm,n, x ∈ Rn, b ∈ Rm
    a) Ax = b forme standard simpliciale ⇒ m ≤ n A= [Im/H] H M(R)
  b) Ax = b forme standard ⇒ Ãx ≤ b forme canonique Ã M(R) b 
  c) 2x1 + x2 ≤ 5, 2x2 + x1 ≤ 5 deux contraintes redondantes 
  d) Un ensemble E ⊂ R est convexe si x1, x2 ∈ E, ∀λ∈R⇒ λx1 +(1- λ)x2 ⇒ x1 = x2 =  
   e) est point extrémal de E, il existe x1, x2 ∈ E et λ∈ [1;2] telle que  X̅ = x1 = x2

Exercice 1

Une usine fabrique de produits P1 et P2 nécessitant des ressources d'équipement de, de main d'ouvre et de matière premières disponibles en quantité limitée.
P1 et P2 rapportent à la vente de 30 DH et 20 DH par unité.

Examens de recherche opérationnelle (RO) S5 avec corrigé  - option économie

1) Quelle quantité de produit P1 et P2 doit produire l'usine pour maximiser le bénéfice total venant de la vente des deux produits ?
2) Supposons que la vente de P2 augmente de 10DH, chercher la valeur maximale de Z.
3) Donner l'interprétation économique de la solution optimale.
Exercice 2 :
On considère PL suivante :

Maximiser 2x2
2x2 ≥ 1
x1 + x2 ≤ 2
x1,x2 ≥ 0


Résoudre PL à l'aide de la méthode du simplexe : par méthode révisée et méthode des tableaux.

Exercice 3 :

1) Ecrire les problèmes duals (D1) de (P1) et (D2) de (P2).

           min z = x1 + 2x4 - 3x3                                      Max z = 4x1 + 5x2
           x1 + x4 + 3x2 ≥ 6                                2x1 + x3 + x2 ≤ 8
(P1) = 3x1 + 2x3 - x2 + 2x4 = 11         (P2) = 2x2 + x1 + x4 ≥ 7
           x1 - 3x4 + 2x3 ≤ 5                               x2 + x5 ≤ 3
          x2 ≥ 0, x1 ≶ 0, x4 ≶  0, x3 ≤ 0              x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 


2) Appliquer sur (P2), le théorème des écarts complémentaires pour vérifier l'optimal de la solution proposée X̅  = (3,2,0,0,1)

Examen (Corrigé)

Questions de cours :

1) a) Vrai ( définition de la forme simpliciale)
    b) Vrai ( le passe de canonique)
    c) Faux (à vérifier)
    d) Vrai (définition d'un convexe)
    e) Vrai (définition d'un point externe)
2) voir le support de cours

Exercice 1 :
1) On a  :
            Max 30x1 + 20x2
            x1 + 3x2 ≤ 18 
            x1 + x2 ≤ 8
           2x1 + x2 ≤ 14
            x1, x2 ≥ 0

On a z = 30x1 + 20x2 = P ⇒ Max z = Max 30x1 + 20x2 = Max P
30x1 + 20x2 = B ⇒  20x2 = -30x1 + P ⇒ x2 = -30x1/20 + p/10 =-3x1/2 +p/20
le coefficient est (1,-3/2)

(D1) : x1 + 3x2 = 18
 pour x1 = 0 ⇒  x2 = 6
     et x1 = 18 ⇒ x2 = 0      

(D2) : x1 + x2 = 8
 pour x1 = 0 ⇒  x2 = 8
     et x1 = 0 ⇒ x2 = 8

(D3) : 2x1 + x2 = 14
 pour x1 = 7 ⇒  x2 = 0
     et x1 = 0 ⇒ x2 = 14

La solution optima correspond au point B.
cherchons les cordonnées du points
on a B = (D2)∩(D3)

 x1 + x2 = 8 et 2x1 + x2 = 14   ⇒  Δ = 1-2 = -1 ≠ 0
                                                    Δx1 = 8 - 14 = -6
                                                    Δx2 = 14 - 16 = -2
                                                    x1Δx1 Δ = -6 / -1 = 6
                                                    x2 = ΔxΔ = -2/-1 = 2
on a x1 = 6 et x2 = 2 ⇒ z* = 30*6 + 20*2 = 180 +40
                                       z*  = 220

2) Le prix de P2 augmente de 10 DH alors la fonction objectif sera changé la nouvelle fonction sera    : Max 30x1 + 30x2

     On a P(Z) = -30/30 =-1
            P(D1) = -1/3
            P(D2) = -1
            P(D3) = -2

  On a P(Z) = P(D2) = -1 ⇒ (Z) (D2)

  Puisque (D2) donne le plus point dans la figure alors la solution optimal sera les points de la région réalisable qui appartient à la droite (D2la solution est le segment [BC]
 Donc Z* = 30*6 + 30*2 + 180 + 60
           Z* = 240

3) Si le prix est augmenté de 10DH alors la marge bénéficiaire sera 240. cette marge peut être réalisé par plusieurs méthodes de production : 6 unités de P1 et 2 Unités de P2 (Sommet B).
   5 unités de P1 et 3 unités de P2 (sommet C)
   4 unités de P1 et 4 unités de P2 (milieu de [BC])

Exercice 2 :
On a :
Max 2x2
2x2 ≥ 1
x1 + x2 ≤ 2
x1,x2 ≥ 0
Forme standard :
Max 2x2
2x2 - x3 = 1
x1 + x2 + x4 = 2
x1,x2,x3,x4 = 0
On a :

       2x2 - x3 = 1  ⇔ - x3 = 1 - 2x2  ⇔  x3 = -1 + 2x2 < 0  ⇒  non réalisable

       alors on change la base 
       Donc on aura : 2x2 - x3 = 1  ⇔  2x= 1 + x3  ⇔ x= 1/2 + x3/2
       Max 2x2 = Max 2(1/2 + x3/2) = Max 1 + x3
       x1 + x2 + x4 = 2 ⇔ x1 + 1/2 + x3/2 + x4  = 2
                                 ⇔ x1 + x3/2 + x4  = 2 - 1/2 = 3/2

Max 1 + 3
x2 - x3/2 = 1/2
x1 + x2/2 + x4 = 3/2

    Nb : ce changement de base est facultatif je peux bien résoudre sans le faire, la base (x1,x4) mais avec une résolution par méthode dictionnaire.

   Revisé : 
   On a :
   A =   (0 2 -1 ; 1 1 0 1)
   b = (1;2)
        c = ( 0 2 0  0)
    x = (x1 x2 x3 x4)

       On a la fonction objective est Max 2x2
       Alors Max z = Max 2x2 ⇒ Max x2 ⇒ x2>0
       Donc les bases ne contient pas x2 sont des bases non optimale.

       B1 = {x1,x2} ⇒ AB1 = (0 2 ; 1 1) detAB1 = -2 ≠ 0 ⇒ B1 base
       1/AB1 = 1/-2(0 -2 ; -1 0) = (-1/2  1; 1/2  0) ⇒ xB1 =  b/AB1
                                                                                                                                        = (-1/2  1 ; 1/2   0)(1  2)
                                                                                     = (3/2    1/2) >0 ⇒ S.R.N.D
    ĈMB1 = CMB1 - CB1.AB1/AB1
                   = (0,0) - (0,2) (-1/2  1  ; 1/2   0)(-1   0 ; 0   1)
            = (0,0) -(0,2) (-1/2  1  ; 1/2   0)
            = (0,0) - (-1,0) = (1,0)
            donc non optimale.

   B2 = {x2,x3} ⇒ AB2 = (2 -1 ; 1 0) detAB2 = 0 -(-1) = 1 ≠ 0 ⇒ B2 base
   1/AB2 = (0  1;-1  2)
   xB2 = ( 0  1;-1  2(1   2)  = (2  3) >0  ⇒ S.R.N.D
   ĈMB1 = CMB2 - CB2.AB2/AB2
                   = (0,0) - (2,0) (0  1  ; -1   2)(-0   0 ; 1  1)
            = (0,0) -(2,0) (1  1  ; 2   2)
            = (0,0) - (2,2) = (-2,-2) < 0  ⇒  solution optimale
 x*(0,2,3,0) Z*= CB2xB2 = (2,0)(2 3) = 4

 B3 = {x2,x4} ⇒ AB3 = (2 0 ; 1 1) detAB3 = 2 ≠ 0 ⇒ B3 base
 1/AB3 = 1/2(1  0;-1  2) = (1/2   0; -1/2    1)
 xB3 (1/2   0; -1/2    1)(1 ; 2) = (1/2  3/2) >0  ⇒ S.R.N.D
 ĈMB3 = (0,0) - (2,0) (1/2  0  ; -1/2   1)(0   -1 ; 1  0)
            = (0,0) -(2,0) (0  -1/2  ; 1   1/2)
            = (0,0) - (0,-1) = (0,1) < 0  ⇒  solution non optimale

 Donc X* = (0,2,3,0),      Z* = 4,    Sommet ( 0,2)

Exercice 3 :
1)
      min z = x1 + 2x4 - 3x3                                      Max z = 4x1 + 5x2
           x1 + x4 + 3x2 ≥ 6                                2x1 + x3 + x2 ≤ 8
(P1) = 3x1 + 2x3 - x2 + 2x4 = 11         (P2) = 2x2 + x1 + x4 ≥ 7
           x1 - 3x4 + 2x3 ≤ 5                               x2 + x5 ≤ 3
          x2 ≥ 0, x1 ≶ 0, x4 ≶  0, x3 ≤ 0              x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 
le Dual
            Max 6y1 11y2 + 5y3                                                Min w = 8y1 + 7y2 + 3y3
            y1 + 3y2 + 3x2 = 1                                2y1 + y2   4
(D1) = 3y1 - y2   0                                (D2) = y2 + 2y2 + y3 ≥ 5
           y1 - 2y2 - 3y3 = 2                                     y1   0
           2y1 + 2y3 ≥ -3                                         y2  0
           y1 ≥ 0, y1 ≶ 0, y3 ≤ 0                              y≥ 
                                                                         y≥0 ,y≥0 ,y≥ 0
2) 

   On a : X̅(3,2,0,0,1)
   2x1 + x3 + x2 8 = 2*3 + 0 + 2 8 = 0 ⇒ saturée ⇒ rien à conclure
   2x2 + x1 + x4 7 = 2*2 + 3 +0 -7 = 0 ⇒ saturée ⇒ rien à conclure
   x2 + x5 - 3 = 2 + 1 -3 = 0 ⇒ saturée ⇒ rien à conclure

   On a :
   1 = 3 ≠ 0 ⇒ contrainte 1 saturée ⇒ 2y1 + y2 - 4 = 0
   = 2 ≠ 0 ⇒ y1 + 2y2 + y3 - 5 = 0
   = 0 ⇒ rien à conclure
   = 0 ⇒ rien à conclure
   = 1 ≠ 0 ⇒ y3 + 2y- 0 = 0 ⇒ y3 = 0

   Donc :
   y1 + 2y2 + y3 - 5 = 0 et 2y1 + y2 - 4 = 0 et y3 = 0 ⇒  y1 + 2y2 - 5 = 0 et 2y1 + y2 - 4 = 0
                                                                                  ⇒  y1  = 5 - 2y2 et 10- 4y1 + y2= 0
                                                                                  ⇒  y1  = 5 - 2y2 et y2= 2
                                                                                  ⇒  y1  = 1 et  y2= 2
                                                                                  ⇒  Ӯ  =(1,2,0) S.R du Dual.

  On a :
   Z = 4*3 +5*3
      = 12 +10 
   Z = 22
  W = 8*1 + 7*2
      = 8 + 14
  W = 22

  Donc :
  X̅(3,2,0,0,1)  S.Op du (P2)
  Ӯ  =(1,2,0)  S.Op du (D2)
  Z*= W* = 22

Examens de semestre 5 option économie

1. Examens de histoire de la pensé économique
2. Examens de relations économiques internationales (REI)
3. Examens d'économétrie 1
4. Examens de comptabilité nationale
5. Examens de finances publiques II

Support de recherche opérationnelle (RO) S5

  • Cours de recherche opérationnelle (RO) S5 
  • Résumé recherche opérationnelle (RO) S5 
  • Exercices recherche opérationnelle (RO) S5 

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