%20(1).webp "Résumé d'échantillonnage et estimation S3")
9ytna il mettre à votre disposition le résumé complet d'échantillonnage et estimation. Le résumé contient toutes les parties sans exception d'une manière bien expliqué. Le tableau des matières ci-dessous contient les parties qui sont traitées dans ce résumé.
Tableau des matières
I. Échantillonnage des paramètres
Variable quantitatif (mesurable)
Variable qualitatif (observable)
Estimation ponctuelle (σ ou σ² connu)
Estimation par intervalle de confiance (σ ou σ² inconnu)
Estimation par intervalle de confiance
Interval de confiance d’une proportion
Conclusion “résumé d'Estimation des paramètres"
Résumé d'échantillonnage et estimation
Echantillonnage des paramètres
Population
(u, G², G, P )
N : taille globale de la population
Vers ↓
Echantillon
(ū,S², S, F)
n : Taille d’échantillon
Variable quantitatif (mesurable)
Moyenne
- E(x) = u ⇒ E[x] = Σxi / N
- V(x) = σ² ⇒ V[x] = Σ(xi - u / N)²
- σ(x) = √V(x)
- P : est donnée
Echantillon
T.A.R
Tirage non exhaustif
- E(X̅) = E(x) = u
- V(X̅) = σ²/n
- σ(X̅) = σ/ √V(x)
T.S.R
Tirage exhaustif
On calcule le taux de sondage : n/N
Si n/N ≤ 10% on néglige la correction.
Si n/N ≥ 10% on apporte la correction :
- E(X̅) = E(x) = u
- S² = σ²/n . (1-n/N)
- S[X̅] = [σ/ √V(x)] . [√(1-n/N)]
Variable qualitatif (observable)
Proportion
P = Nbr de cas favorable / Nbr de cas possible
Avec : P = la proportion de succès dans la population
Q = 1-p : la % de l’échec dans la population.
Echantillon
P : inconnue
On la remplace par son estimation ponctuelle
P = Ө/n
P : connue
T.A.R
- E[F] = P
- V[f] = P(1-p) / n
- S[F] = √(P(1-p) / n)
T.S.R
On calcul le taux de sondage : n/N
- V[F] = [P(1-p) / n] . [(1-n/N)]
- S[F] = [√(P(1-p) / n)] . [√(1-n/N)]
1-n/N = (N-n)/(N-1) : le facteur d’exhaustivité.
II. Estimation des paramètres
Population ⬅ échantillon
u ⬅ X̅
σ²⬅S²
σ⬅S
P⬅S
P⬅P
La moyenne
Estimation ponctuelle (σ ou σ² connu)
E[X̅] = u
Il suffit de calcul X̅ Σxi/n pour estimer u
IC = [X̅ - zα/2. σ/√x ≤ u ≤ X̅ + zα/2 . σ/√x]
IC
TAR
IC = [X̅ - zα/2 .σ/√x ≤ u ≤ X̅ + zα/2 . σ/√x]
TSR
On calcul le taux de sondage n/N
Si n/N ≥ 10%
On obtient
IC = [X̅ - zα/2 . σ/√x .√(1-n/N) ≤ u ≤ X̅ + zα/2 . σ/√x . √(1-n/N)]
Estimation par intervalle de confiance (σ ou σ² inconnu)
σ inconnu avec n ≥ 30
IC = [X̅ - zα/2 . Ŝ/√x ≤ u ≤ X̅ + zα/2 . Ŝ/√x ]
NB : si σ ou σ² sont inconnues, on remplace σ par son estimation ponctuelle Ŝ.
σ inconnu avec n < 30
IC = [X̅ - zα/2 . Sc/√x ≤ u ≤ X̅ + zα/2 . Sc/√x ]
zα/2 : la loi de student
Sc : écart typé corrigé
Sc = √(Sc²)
Avec Sc² = n/n-1 . S²
Donc Sc = √( n/n-1) . S
Sc² : variance corrigé
Proportion
Estimation ponctuelle
- p̂ est estimateur de p
- E[p̂] = p
- V[p̂] = P(1-p̂) / n
- σ [p̂] = √(p̂(1-p̂) / n)
- Z = (p̂ - p) / √(p̂(1-p̂) / n) ↝ N(0,1)
Estimation par intervalle de confiance
TAR
TSR
Taux de sondage
Si n/N > 10%
IC = [p̂ - zα/2 . √(p̂(1-p̂) / n) . √(1-n/N) ≤ u ≤ p̂+ zα/2 . √(p̂(1-p̂) / n) . √(1-n/N)]
Test d’hypothèse
Test bilatérale
H0 : u = u0
H1 : u ≠ u0
σ connu
Si x ↝ N(u,σ²)
X̅ ↝ N(u,σ²/n)
La variable de décision
Z = (X̅ - u0) / (σ/√x) ↝ N(0,1)
IC “les variables critiques”
X̅c1 = u0 - zα/2 . σ/√x
X̅c2 = u0 + zα/2 . σ/√x
σ inconnu
Si x ↝ N(u,σ²)
X̅ ↝ N(u,σ²/n)
La variable de décision
Z = (X̅ - u0) / (S/√x) ↝ N(0,1)
IC “les variables critiques”
X̅c1 = u0 - zα/2 . S/√x
X̅c2 = u0 + zα/2 . S/√x
Si X̅ ∈ [X̅c1,X̅c2] on accept H0
Test unilatérale
À gauche
H0 : u = u0
H1 : u < u0
σ inconnu
X̅c = u0 - zα . S/√x
σ connu
X̅c1 = u0 - zα . σ/√x
X̅c < X̅ on accept H0
À droite
H0 : u = u0
H1 : u > u0
σ inconnu
X̅c = u0 + zα . S/√x
σ connu
X̅c1 = u0 + zα . σ/√x
X̅c > X̅ on accept H0
- Prélève au hasard (indépendant [SR])
- deux n2 , n2 de deux populations normales : de paramètre respectifs u1 et σ²1 ; u2 et σ²2
- u1 et u2 sont inconnues
1. X1 - X2 distribué normalement
2. E[X̅1-X̅2] = u1 - u2
3. σ[X̅1-X̅2] = √(σ²1/n1 + σ²1/n1)
4. Z = [X̅1-X̅2] - (u1 - u2) / √(σ²1/n1 + σ²1/n1) ↝ N(0,1)
Test d’hypothèse
H0 : u1 - u2 (tester u1 - u2 = 0)
On rejette H0 si : Z < -Zα/2 ; Z > Zα
Fluctuation d'échantillonnage
- n1 et n2 deux échantillons indépendants
- P1 et P2 sont inconnues
⇒ P = P1 + P2
⇓
Un estimateur de P:
p̂ = n1.p̂1 + n2.p̂2 / n1 + n2
S[p̂1 - p̂2] = √(p̂(1-p̂) [1/n1 + 1/n2])
Sous les conditions d’application
n1.p̂1 > 5 ; n1(1-p̂1) > 5
n2.p̂2 > 5 ; n2(1-p̂2) > 5
L’écart réduit
Z = ([p̂1 - p̂2] - (p̂1 - p̂2)) / (p̂(1-p̂) [1/n1 + 1/n2]) ↝ N(0,1)
Les règles de décision
H1 : P1 ≠ P2 rejeter H0 si Z > Zα/2 ou Z < -Zα/2
H1 :P1 > P0 rejeter H0 si Z > Zα
H1 :P1 < P0 rejeter H0 si Z < Zα
Tirage aléatoire
- On choisi un point d’entrée
- En choisi un itinéraire de lecture (de haut en bas)
Tirage systémique
- On calcul le “pass” K = N/n
- On choisit à l’aide de la table) un individu donc les premiers deux chiffres seraient comprises entre 1 et K
- L'échantillon est constitué alors en ajoutant au premier nombre choisi le "pass" K.
[A; a+K ; a+2K ; a + bK ; a + (n-1)K]
Estimation
→ Ponctuelle P = Ө /M
→ Proportion
- n ≥ 30
- n.p̂ ≥ 5 avec P : estimateur de P
- n.q ⇒n(1-p̂) ≥ 5
1. La distribution de p̂ est approximativement normale
2. La moyenne de la distribution p : E[p̂] = p
3. L’écart type : σ(P) = √(p̂(1-p̂)/n)
4. Z = (p̂ - p̂) / √(p̂(1-p̂)/n) ↝ N(0,1)
Interval de confiance d’une proportion
IC = [p̂ - zα/2 . √(p̂(1-p̂) / n) ≤ P ≤ p̂ + zα/2 . √(p̂(1-p̂) / n)]
P - zα/2 . √(p̂(1-P) / n) : limite inférieur
P + zα/2 . √(p̂(1-p̂) / n) : limite supérieur
Remarque
Si le tirage “avec remise” ⇒ aucune correction
Si le tirage est “sans remise” ⇒ on doit apporter une correction:
σ(p̂) = √(p̂(1-p̂)/n) . √(1-n/N)
Conclusion “résumé d'Estimation des paramètres"
Pour estimer un paramètre de la population :
1. Déterminer le type de tirage
TAR(T.non exhaustif)
TSR(T. exhaustif) (indépendant)
On commence par le calcul du Taux de sondage : n/N
Si n/N 10%
On néglige la correction
- σ²(X̅) = σ²/n
- σ²(p̂) = p̂(1-p̂) / n
- σ(p̂) = √(p̂(1-p̂) / n)
Si n/N 10%
On apporte la correction
- σ²(X̅) = σ²/n . (1-n/N)
- σ²(p̂) = p̂(1-p̂) / n . (1-n/N)
- σ(p̂) = √(p̂(1-p̂) / n) . √(1-n/N)
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